一只蜘蛛 S 坐在长方体房间的一角，用 $6$ × $5$ × $3$ 测量，而一只苍蝇 F 则坐在对面的角落。通过在房间表面上行驶，从 S 到 F 的最短"直线"距离是 $10$，路径如图所示。

但是，对于任何给定的长方体，最多有三个"最短"候选路径，并且最短路径并不总是具有整数长度。

可以证明，恰好有 $2060$ 个不同的长方体，忽略旋转，具有整数尺寸，最大尺寸为 $M$、$M$、$M$，其中当 $M=100$ 时，最短路径具有整数长度。这是$M$解数首次超过2000时的最小值； $M=99$为$1975$时的解数。

找到 $M$ 的最小值，使得解的数量首先超过 100 万。