触摸屏设备可以用一种“密码”解锁：用户从屏幕上的矩形点阵中选择至少两个互不相同的点，组成一个序列。输入时，先触碰第一个点，再沿直线线段移动到下一个点，依此类推，直到序列结束。整个过程中，手指始终接触屏幕，并且只能沿连接两个点的直线线段移动。

若手指沿一条直线经过中间的某个点，则该次移动视为两条线段，中间点也会加入密码序列。例如，在下图用 $1$ 到 $9$ 编号的 $3\times 3$ 点阵中，轨迹 $1-9$ 会被解释为 $1-5-9$。

一个点被选中后，就会从屏幕上消失。此后，它既不能成为后续线段的端点，也不会因后续线段经过它而再次被选中。例如，轨迹 $1-9-3-7$ 两次经过 $5$ 所在的位置，但产生的密码为 $1-5-9-6-3-7$。

在 $3\times 3$ 点阵中，共能形成 $389488$ 种不同的密码。

求 $4\times 4$ 点阵能形成的不同密码的数量。