自然数 $N$ 可以写成给定的至少两个自然数集合 $\{a_1,a_2,\dots ,a_k\}$ 的和与积，称为积和数：$N=a_1+a_2+\cdots +a_k=a_1\times a_2\times \cdots \times a_k$。

例如，$6=1+2+3=1\times 2\times 3$。

对于给定的大小集合 $k$，我们将具有此属性的最小 $N$ 称为最小乘积和数。大小集 $k=2,3,4,5$ 和 $6$ 的最小乘积和数如下。

• $k=2$：$4=2\times 2=2+2$
• $k=3$：$6=1\times 2\times 3=1+2+3$
• $k=4$：$8=1\times 1\times 2\times 4=1+1+2+4$
• $k=5$: $8=1\times 1\times 2\times 2\times 2=1+1+2+2+2$
• $k=6$: $12=1\times 1\times 1\times 1\times 2\times 6=1+1+1+1+2+6$

因此，对于 $2\le k\le 6$，所有最小乘积和数的总和为 $4+6+8+12=30$；请注意，$8$ 在总和中仅计算一次。

事实上，由于 $2\le k\le 12$ 的最小乘积和数的完整集合为 $\{4,6,8,12,15,16\}$，因此总和为 $61$。

$2\le k\le 12000$ 的所有最小乘积和数的总和是多少？