三个朋友尝试根据他们的个人喜好集体选择 $n$ 个选项之一，标记为 $1,\dots ,n$。如果对于每个替代选项 $j$，三个朋友中至少有两个更喜欢 $i$ 而不是 $j$，那么他们会选择选项 $i$。如果不存在这样的选项$i$，他们就无法达成协议。

将 $P(n)$ 定义为三个朋友成功达成协议并选择一个选项的概率，其中每个朋友的个人偏好顺序由 $1,\dots ,n$ 的（可能不同）随机排列给出。

给定 $P(3)=17/18$ 和 $P(10)\approx 0.6760292265$。

求$P(20000)$。将您的答案四舍五入到小数点后十位。