三个认识论者，分别称为 A、B 和 C，在一个房间里，每个人都戴着一顶上面有数字的帽子。他们事先被告知这三个数字都是正数，并且其中一个数字是另外两个数字的总和。

进入房间后，他们可以看到彼此帽子上的号码，但看不到自己的号码。从 A 开始并循环进行，每个认识论者必须诚实地陈述"我不知道我的数字"或宣布"现在我知道我的数字！"这会终止游戏。

例如，如果他们的数字是 $A=2,B=1,C=1$，则 A 在第一回合声明"现在我知道了"。如果他们的数字是 $A=2,B=7,C=5$，那么在 B 最终在第五回合宣布"现在我知道"之前，会听到四次"我不知道"。

令 $F(A,B,C)$ 为认识论者声明"现在我知道"所需的轮数，包括做出此声明的轮次。所以 $F(2,1,1)=1$ 和 $F(2,7,5)=5$。

求 ${\displaystyle \sum _{a=1}^7\sum _{b=1}^{19}F(a^b,b^a,a^b+b^a)}$。