L 表达式 定义为以下任意一项：

• 自然数；
• 符号$A$；
• 符号$Z$；
• 符号$S$；
• 一对 L 表达式 $u,v$，写为 $u(v)$。

L 表达式可以根据以下规则进行转换：

• $A(x)\to x+1$ 对于任何自然数 $x$；
• $Z(u)(v)\to v$ 对于任何 L 表达式 $u,v$;
• $S(u)(v)(w)\to v(u(v)(w))$ 对于任何 L 表达式 $u,v,w$。

例如，应用所有可能的规则后，L 表达式 $S(Z)(A)(0)$ 将转换为数字 $1$： $$S(Z)(A)(0)\to A(Z(A)(0))\to A(0)\to 1.$$ 类似地，L 表达式 $S(S)(S(S))(S(Z))(A)(0)$ 在应用所有可能的规则后将转换为数字 $6$。

定义以下 L 表达式：

• $C_0=Z$；
• $C_i=S(C_{i-1})$ 对于 $i\ge 1$；
• $D_i=C_i(S)(S)$。

对于自然数 $a,b,c,d,e$，令 $F(a,b,c,d,e)$ 表示 L 表达式 $D_a(D_b)(D_c)(C_d)(A)(e)$ 应用所有可能的规则后的结果。

查找 $F(12,345678,9012345,678,90)$ 的最后九位数字。

注意：可以证明，所讨论的L表达式只能变换有限次数，并且最终结果不依赖于变换的顺序。