无理数 $x$ 可以唯一地表示为连分数 $[a_0;a_1,a_2,a_3,\dots ]$: $$x=a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+{}_{\ddots }}}}$$其中$a_0$是整数，$a_1,a_2,a_3,\dots$是正整数。

将 $k_j(x)$ 定义为 $a_1,a_2,\dots ,a_j$ 的几何平均值。
即 $k_j(x)=(a_1{a}_2\cdots a_j{)}^{1/j}$。
同时定义 $k_{\mathrm{\infty }}(x)=\underset{j\to \mathrm{\infty }}{lim}{k}_j(x)$。

Khinchin 证明了几乎所有无理数 $x$ 都具有相同的 $k_{\mathrm{\infty }}(x)\approx 2.685452\dots$ 值，称为 Khinchin 常数。但是，此规则也有一些例外。

对于 $n\ge 0$ 定义 $${\rho }_n=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^n}{2^{2^i}}$$例如${\rho }_2$，连分数开始$[3;3,1,3,4,3,1,3,\dots ]$，有 $k_{\mathrm{\infty }}({\rho }_2)\approx 2.059767$。

求 $k_{\mathrm{\infty }}({\rho }_n)$ 对于 $0\le n\le 50$ 的几何平均值，将答案四舍五入到小数点后六位数字。