递推数列求和

序列 $a_{n}$ 由 $a_{1} = 1$ 定义，然后递归地得到 $n \geq 1$ ： $\begin{aligned} a_{2 n} & = 2 a_{n} \\ a_{2 n + 1} & = a_{n} - 3 a_{n + 1} \end{aligned}$ 前十项为 $1, 2, - 5, 4, 17, - 10, - 17, 8, - 47, 34$ 。
定义 $S (N) = \sum_{n = 1}^{N} a_{n}$ 。给定 $S (10) = - 13$ 。
求 $S (10^{12})$ 。