给定两个不相等的正整数 $a$ 和 $b$，我们定义一个由 $a$s 和 $b$s 交替运行组成的自描述序列。第一个元素是 $a$，游程长度的序列是原始序列。

对于 $a=2,b=3$，序列为： $$2,2,3,3,2,2,2,3,3,3,2,2,3,3,2,2,3,3,3,2,2,2,3,3,3,...$$ 该序列以两个 $2$s 和两个 $3$s 开始，然后是三个 $2$s 和三个 $3$s，因此游程长度$2,2,3,3,...$ 由原始序列给出。

设 $T(a,b,N)$ 为序列中前 $N$ 个元素的总和。您将获得 $T(2,3,10)=25$、$T(4,2,{10}^4)=30004$、$T(5,8,{10}^6)=6499871$。

找到 $2\le a\le 223$、$2\le b\le 223$ 和 $a\ne b$ 的 $\sum T(a,b,22332223332233)$。以 $2233222333$ 为模给出你的答案。