我们使用 $x\oplus y$ 来对 $x$ 和 $y$ 进行按位异或。
定义 $x$ 和 $y$ 的异或乘积，用 $x\otimes y$ 表示，类似于以 $2$ 为基数的长乘法，只不过中间结果是异或而不是通常的整数加法。
例如，$7\otimes 3=9$，或以 $2$ 为基数，${111}_2\otimes {11}_2={1001}_2$： <中心> $$\begin{array}{r}\phantom{\otimes 111}{111}_2\\ \otimes \phantom{1111}{11}_2\\ \phantom{\otimes 111}{111}_2\\ \oplus \phantom{11}{111}_2\phantom{9}\\ \phantom{\otimes 11}{1001}_2\end{array}$$ 我们考虑这个方程： <中心> $$\begin{array}{r}(a\otimes a)\oplus (2\otimes a\otimes b)\oplus (b\otimes b)=c\otimes c\end{array}$$

例如，$(a,b,c)=(1,2,1)$ 是该方程的解，$(1,8,13)$ 也是该方程的解。

令 $F(N)$ 为满足 $0\le a\le b\le N$ 的方程的解数。给你$F(10)=21$。

求$F({10}^7)$。