给定连分数的表示 $$a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\ddots }}}=[a_0;a_1,a_2,a_3,\dots ]$$

$\alpha$ 是一个实数，用连分数表示： $\alpha =[2;1,1,2,1,1,1,2,1,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,\dots ]$
其中每个$2$之间的$1$的数量是连续的质数。

$\beta$ 是另一个实数，定义为 $$\beta =\frac{2\alpha +3}{3\alpha +2}$$

$\beta$ 连分数的前十个系数为 $[0;1,5,6,16,9,1,10,16,11]$，总和为 $75$。

求 $\beta$ 连分数的前 ${10}^8$ 系数之和。