从零开始，袋鼠沿着实数轴向正方向跳跃。每一次连续的跳跃都会使袋鼠向前移动 $0$ 到 $1$ 之间的均匀随机距离。令 $H(n)$ 为袋鼠在实线上通过 $n$ 所需的期望跳跃数。

如果我们写$\alpha =H(1)$，那么对于所有正整数$n$，$H(n)$可以表示为$\alpha$的有理系数多项式函数。例如$H(3)={\alpha }^3-2{\alpha }^2+\frac{1}{2}\alpha$。将 $S(n)$ 定义为 $H(n)$ 多项式形式中所有整数系数的总和。因此 $S(1)=1$ 且 $S(3)=1+(-2)=-1$。
您还得到 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{10}S(n)=43}$。
求${\displaystyle \sum _{n=1}^{{10}^{18}}S(n)}$。以 ${10}^9+7$ 为模给出你的答案。