给定一对 $(a,b)$ 互质奇正整数，定义函数 $$H_{a,b}(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2(a+b)}(b\cos (a\pi x)+a\cos (b\pi x))$$可以看出，所有$x$的$H_{a,b}(0)=0$、$H_{a,b}(1)=1$和$0<H_{a,b}(x)<1$严格介于$0$和$1$之间。

给定两个这样的对 $(a,b)$ 和 $(c,d)$，无穷小宽度的路径在单位立方体内部穿过每个点 $(x,y,z)\in [0,1{]}^3$，使得 $z=H_{a,b}(x)=H_{c,d}(y)$。值得注意的是，可以证明点 $(0,0,0)$ 始终连接到对角 $(1,1,1)$。此外，通过附加条件$gcd(a+b,c+d)\in \{2,4\}$，可以证明只有一条路径连接两点。

上面显示的是从立方体上方观察的两个示例。也就是说，我们看到投影到 $xy$ 平面上的路径，并用不同的颜色表示相应的 $z$ 值。在第二个示例中，某些路径呈灰色，表示虽然它们存在，但它们不构成从 $(0,0,0)$ 到 $(1,1,1)$ 的路径的一部分。

将 $F(a,b,c,d)$ 定义为从 $(0,0,0)$ 到 $(1,1,1)$ 的路径的所有上坡和下坡部分的高度（或 $z$ 坐标）绝对变化的总和。在上面的第一个示例中，路径在 11 个上坡路段上攀爬 $\approx 4.00886$，在 10 个下坡路段上下降 $\approx 3.00886$，得到 $F(3,5,3,7)\approx 7.01772$。您还获得 $F(7,17,9,19)\approx 26.79578$。

令 $G(m,n)$ 为所有质数对 $(p,q)$ $m\le p<q\le n$ 上 $F(p,q,p,2q-p)$ 的总和。您获得 $G(3,20)\approx 463.80866$。

查找 $G(500,1000)$，将您的答案四舍五入到小数点后五位数字。