排行榜上有 $n$ 网球运动员，从排名 $1$（最高）到排名 $n$（最低）。

每天，一对相邻排名的玩家之间都会举行一场比赛。当排名较高的玩家获胜时，不会发生任何事情；否则，他们的排名会交换，我们称这场比赛为获胜玩家的超越。

$k$天后，玩家们发现他们都回到了最初的排名。然后他们计算每个玩家的超车次数。

这是一个包含 $3$ 玩家的示例，从最高到最低初始排名依次命名为 $A,B,C$。

匹配	获胜者	失败者	比赛后排名 $1,2,3$	超车次数
				$A$	$B$	$C$
$1\ast$	$C$	$B$	$A,C,B$	$0$	$0$	$1$
$2$	$C$	$B$	$A,C,B$	$0$	$0$	$1$
$3\ast$	$C$	$A$	$C,A,B$	$0$	$0$	$2$
$4$	$A$	$B$	$C,A,B$	$0$	$0$	$2$
$5\ast$	$A$	$C$	$A,C,B$	$1$	$0$	$2$
$6\ast$	$B$	$C$	$A,B,C$	$1$	$1$	$2$

标有 $\ast$ 的比赛为超车。
$6$ 天后，所有玩家均回到初始排名，超车计数为 $1,1,2$。

令 $F(n,k)$ 为 $k$ 天后可能的超车计数 $n$ 元组的数量，假设所有玩家都回到初始排名。
您将获得 $F(3,4)=8$ 和 $F(12,34)=2457178250$。

查找 $F(123,4567891)mod1234567891$。