对于每个质数 $p$ 和每个正整数 $n$ 定义两个多项式：

$$\begin{array}{rl}{f}_p(x)& =\sum _{i=0}^{p-1}{x}^i\\ g_n(x)& =1+\sum _{d\mid n}{x}^d\end{array}$$

令$S(p)$ 为使得$f_p(x)$ 整除$g_s(x)$ 的最小正整数$s$。例如，$S(2)=1$ 为 $f_2(x)=g_1(x)$。另外 $S(5)=8$ 因为 $f_5(x)\cdot (x^4-x^3+1)=g_8(x)$。

将 $T(m)$ 定义为 $S(p)$ 在所有质数 $p<m$ 上的乘积。 已知 $T(20)=1348422598656$ 和 $T(100)\approx 1.37451\text{e}123$。

求 $T(20000)$，以科学记数法给出答案，四舍五入到小数点后五位有效数字。使用小写 e 分隔尾数和指数。