莫雷奇迹 · 谜题库

把任意三角形的三个角各自三等分。对每一对相邻顶点，取最靠近它们公共边的两条三等分线之交点。

这三个交点看起来构成一个等边三角形。

证明无论原三角形是什么形状，结论都成立。

提示

每次打开一个

可以直接追角，但构造一个等边三角形更干净。

把原三角形的三个角分别写成三倍角。

解答

认真尝试后再打开

反向构造

把原三角形的三个角写为 $3 α, 3 β, 3 γ$ ，则

α + β + γ = 60^{\circ} .

不从任意三角形出发，而是先作一个等边三角形，再在它周围构造三个角度由 $α, β, γ$ 决定的三角形。反复使用正弦定理，可以证明外轮廓恰好闭合，且其三个角分别为 $3 α, 3 β, 3 γ$ 。

这些构造线因此就是外部三角形的三等分线。因为内部三角形在构造时就是等边的，原图中三个相邻三等分线交点也必然构成等边三角形。

这是一个“综合法比分析法更干净”的例子：先构造目标图形，才能看见那个似乎偶然的 $60^{\circ}$ 为什么被 $α + β + γ$ 强制出现。