对任意三角形 $ABC$，标出以下九个点：

• 三条边的中点；
• 三条高的垂足；
• 每个顶点与垂心 $H$ 连线的中点。

证明这九个点都在同一个圆上。

提示

每次打开一个

从中点三角形开始。

寻找由直角产生的圆内接四边形。

解答

认真尝试后再打开

先处理六个点

设 $D,E,F$ 为三条高的垂足，$L,M,N$ 为三边中点。由于 $\mathrm{\angle }BDC=\mathrm{\angle }BEC={90}^{\circ }$，点 $B,C,D,E$ 共圆。类似的直角论证可以把每个垂足与中点三角形联系起来。

一条更紧凑的路线，是使用以 $H$ 为中心、比例为 $1/2$ 的位似变换。它把 $A,B,C$ 映射到三个顶点与 $H$ 连线的中点，并把 $ABC$ 的外接圆映射为半径减半的圆。

这个像圆的圆心是 $OH$ 的中点，其中 $O$ 是外心。再验证三边中点和三个垂足到该点的距离都是 $R/2$。

因此，九个点全部位于以 $OH$ 中点为圆心、$R/2$ 为半径的同一个圆上。