IBM Ponder This #068 · 2003 年 12 月

本题根据 R. Nandakumar 的建议改编。若一个多边形 P 能分成有限个、至少两个两两相似的小多边形，就称它具有“相似分割”。小块只要求彼此相似，不要求与 P 相似；原题用缩放、旋转及平移描述这种相似关系。

例如，连接三角形各边中点，可得到四个相似且全等的小三角形。又如，先沿平行四边形的一条对角线切开，再将其中一个三角形细分成四个，就得到五个相似、但不全都全等的三角形。

1. 证明每个梯形都存在相似分割；这里梯形仅要求四边形 ABCD 的 AB 与 DC 平行，不加其他条件。
2. 给出一个没有相似分割的四边形，并证明。

附加游戏：五十枚硬币排成一列，每枚价值为双方已知的正数。两人轮流取走当前最左或最右的一枚，直到全部取完。证明先手有策略获得至少一半的总价值。官方不要求提交或公布这一附加题的答案；它收录于 Peter Winkler 计划在 2004 年 1 月出版的《Mathematical Puzzles: A Connoisseur’s Collection》。

解答

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待补充。