IBM Ponder This #099 · 2006 年 7 月

用 g 近似函数 f 时，在 x 处的相对误差定义为 |(g(x)-f(x))/f(x)|。牛顿法把方程 h(r)=0 的近似根 r 更新为 r-h(r)/h'(r)。

1. 在区间 (a,b) 上，用线性式 r=p x+q 近似 1/x，再针对方程 1/r-x=0 做一次牛顿迭代。怎样选择 p、q，使迭代后的最大相对误差最小？特别求区间 (1,2) 上的这一最小最大误差，给出四位有效数字。
2. 改为用 r=p x+q 近似 sqrt(x)，再针对 r^2-x=0 做一次牛顿迭代。回答同样的问题，并给出 (1,2) 上四位有效数字的结果。

官方澄清：优化目标是做完一次牛顿迭代后的最大相对误差，不是迭代前线性近似的误差。前导零不计入有效数字；投稿只需两项要求的小数值。

解答

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待补充。