IBM Ponder This #102 · 2006 年 10 月

在一个三角形 S 的内部随机选三个点，组成三角形 R。求 R 的面积期望占 S 面积的比例。该比例与 S 的大小、形状无关，因此可设 S 的顶点为 (0,0)、(1,0)、(0,1)。以下为官方 2006 年 10 月 3 日修订后的问题。

1. 取包含三点、各边分别平行于 S 各边的最小三角形 T。T 的面积期望与 S 面积之比是多少？
2. 有正概率的配置分为两类：A 类为一点位于 T 的顶点，一点在其对边，第三点在 T 内部；B 类为 T 的每条边各含一个点。各类发生概率是多少？
3. 对 A、B 两类分别求 R 的面积期望与 T 面积之比。
4. 综合以上结果，求 R 的面积期望与 S 面积之比。

解答

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待补充。