IBM Ponder This #268 · 2020 年 8 月

考虑 Nim 的变体。Alice、Bob 轮流操作三堆硬币：每次任选一些非空堆，从每个所选堆中取走相同的正数量。用排序后的 (a,b,c)，0≤a≤b≤c，表示局面。

规则额外包含 LOSE 与 WIN 两个局面列表。轮到玩家时，若局面在 LOSE 中立即输，在 WIN 中立即赢，否则正常移动。默认 LOSE={(0,0,0)}，WIN 为空。

必胜局面指当前玩家能通过正确策略保证获胜。例如默认规则下 (0,7,7) 必胜，而 (0,1,2) 的所有后继 (0,1,1)、(0,0,1)、(0,0,2) 都必胜，所以它必败。

在 0≤a≤b≤c≤100 的 176851 个局面中，默认规则有 1264 个必败局面。改变两个列表，使必败局面数降到至多 1252。每个列表至多十个局面。把 (1,1,1) 加入默认 LOSE 的例子反而增加到 1269。

答案按两行列表给出，例如：

[(1,1,1),(2,2,2)]
[(1,2,3),(4,5,6)]

附加问题：求并证明最少可能的必败局面数，可以针对上限 100，也可以针对较小的上限 10。

解答

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待补充。