IBM Ponder This #288 · 2022 年 4 月

Marco Bellocchi 提出了这个问题。对 $x,y\in {\mathbb{R}}^n$ 定义 $f(x,y)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n(|x_i-x_j|-|y_i-y_j|{)}^2$。希望最小化 $f$，约束为 $x,y$ 互相正交，也与 $(1,1,\dots ,1)$ 正交，且都是单位向量：

• $\sum _{i=1}^n{x}_i^2=\sum _{i=1}^n{y}_i^2=1$；
• $\sum _{i=1}^n{x}_i=\sum _{i=1}^n{y}_i=0$；
• $\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i=0$。

$f$ 的下界似乎为 4，但原题对一般 $n$ 没有证明。把满足 $f(x,y)=4$ 的 $x,y$ 称为最优解。例如 $n=5$ 时：

x=[-0.3562014,0.63245526,-0.3688259,-0.36163773,0.45420977]
y=[-0.03997346,-0.6324558,-0.05259805,-0.04540969,0.77043701]

这对 $x,y$ 以至多 0.0000001 的误差接近最优。

任务：在 $n=20$ 时给出同样精度的 $x,y$。

一星附加问：对某个至少为 5 的 $n$，找到满足 $f(x,y)=4$ 的精确解，且 $x,y$ 都是有理向量，即 $x,y\in {\mathbb{Q}}^n$，用 a/b 表示分量。

两星附加问：对任意某个 $n\ge 40$ 找到精确有理解，或证明 4 确为 $f$ 的最小值。

解答

认真尝试后再打开

待补充。