IBM Ponder This #287 · 2022 年 3 月

在 Wordle 中，绿色表示字符及位置均正确，黄色表示字符存在但位置不对，灰色表示无法匹配该字符；猜测必须是合法词。这里改为猜一个 $n$ 位十进制质数，猜测本身也必须是质数。

一次反馈会排除一些 $n$ 位质数。令 $f(p,q)$ 表示首次猜 $p$、实际答案为 $q$ 时，反馈后仍可能的答案数量。

例如答案为 4733，猜 3637，反馈为黄、灰、绿、黄，剩余 1733、2731、4733、7039、7331、7333、7433、7933、8731、9733、9739，共 $f(3637,4733)=11$。6733 因含灰色的 6 排除；3733 因首位 3 不可在原位排除；2239 因缺少黄色的 7 排除。若首猜改为 8731，则有 $f(8731,4733)=8$。

对 $n$ 位情形，寻找质数 $p$，使均匀随机答案 $q$ 下的 $f(p,q)$ 期望最小，即最小化 $E[p]\triangleq \sum _{q\in P}\frac{f(p,q)}{|P|}$，其中 $P$ 是全部 $n$ 位质数的集合。

任务：在 $n=5$ 时求最佳 $p$ 及 $E[p]$。

附加问题：求 $n=7$ 的答案。

解答

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待补充。