IBM Ponder This #290 · 2022 年 6 月

多格骨牌是二维方格中沿边连通的 $n$ 个格子。只把平移相同的形状视为同一，旋转或镜像后不同的位置仍分别计数，因此有两种二格骨牌、十九种四格骨牌：

固定 $n$ 的总数序列为 $1,2,6,19,63,216,760,2725,9910,36446,135268,...$。对格点定义两种顺序：

1. 先从左到右，再从下到上：$(a,b){\le }_1(c,d)\iff a<c\vee (a=c\wedge b\le d)$；
2. 先从下到上，再从右到左：$(a,b){\le }_2(c,d)\iff b<d\vee (b=d\wedge a\ge c)$。

把同一骨牌的格子按两种方式编号，定义 $\pi (i)=j$，表示第一种编号中的 $i$ 对应第二种中的 $j$。例如：

$\pi$ 是一个排列，可按对换分解的奇偶性分类。只计产生奇排列的骨牌，序列开始为 $0,1,3,11,35,108,380,1348,5014,18223,...$。

任务：计算这一序列至 $n=18$。

附加问题：计算至 $n=20$，或更大的 $n$，并说明方法。

解答

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待补充。