立方体中含全套数字的行与对角线

IBM Ponder This #294 · 2022 年 10 月

Evert van Dijken 提出了这个问题。在 $n \times n \times n$ 立方体的每个 $1 \times 1 \times 1$ 小格中填一个 $1 \dots n$ 的整数，不要求各数字出现次数相同。统计同时包含全部 $1 \dots n$ 的直线数量：共有 $3 n^{2}$ 条轴向行、 $6 n$ 条平面边到边对角线，以及四条体对角线。

例如 $n = 3$ 时：

二十七条行全合格，下图用不同括号标出三个方向的例子：

[1] [3] [2]
 2   1   3
 3   2  {1}

(2)  1   3
(3)  2   1
(1)  3  {2}

 3   2   1
 1   3   2
 2   1  {3}

四条体对角线中三条合格：

[1]  3   {2}
 2   1    3
 3   2    1

 2   1    3
 3 {[2]}  1
 1   3    2

 3   2    1
 1   3    2
{2}  1   [3]

十八条平面对角线中九条合格：

[1] {3}   2
 2   1    3
 3   2    1

 2  [1]   3
 3  {2}   1
 1   3    2

(3)   2   [1]
 1  (3)    2
 2  {1}   (3)

总数为 27+9+3=39，答案可紧凑写成：

任务： $n = 6$ 时，构造至少 110 条合格直线的填法。

附加问题： $n = 5$ 时，先最大化两类对角线的合格数，在最佳对角线数下再最大化总数，并达到至少 60。较多对角线优先于较大总数。仍只在答案末行写总数。

解答

认真尝试后再打开

待补充。

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