IBM Ponder This #325 · 2025 年 5 月

空教室黑板上只剩“Arithmetic in F_{?????}”，说明课程在某个质数 $p$ 对应的素域 $F_p$ 中运算，但你不知道 $p$。桌上试卷使用同一组选择题，只标出总共答对几题，没有逐题批改。示意图如下，不保证图中细节准确：

题目与选项为：

5x_2 + 7x_3 + 5x_5 + 3x_6 = ?
A: 2416 B: 2415 C: 2413 D: 2412

8x_1 + 5x_2 + 2x_5 + 5x_8 = ?
A: 7624 B: 7622 C: 7621 D: 7625

7x_1 + 4x_2 + 5x_4 + 2x_5 = ?
A: 638 B: 642 C: 633 D: 637

7x_1 + 9x_3 + x_6 + x_7 = ?
A: 765 B: 761 C: 759 D: 760

8x_3 + 7x_4 + 4x_5 + 3x_6 = ?
A: 2211 B: 2212 C: 2217 D: 2216

2x_3 + 5x_4 + 5x_6 + 5x_7 = ?
A: 3497 B: 3501 C: 3496 D: 3499

5x_2 + 4x_4 + 6x_5 + 7x_6 = ?
A: 4007 B: 4010 C: 4008 D: 4013

7x_3 + x_4 + 8x_6 + 8x_7 = ?
A: 5531 B: 5535 C: 5538 D: 5534

x_1*x_2*x_3*x_4*x_5*x_6*x_7*x_8 = ?
A: -4 B: 1 C: 5 D: 4

x_1*x_3*x_5*x_7 = ?
A: 6544 B: 6546 C: 6545 D: 6550

所有算式在 $F_p$ 中涉及八个未知量 $x_1,\dots ,x_8$，其值 $x_1,\dots ,x_8$ 已从黑板擦去。学生答案与总分为：

BABBDDCDCA 6/10
DADBDDAACD 6/10
CADBDBCDCC 7/10
DACBDDCBCB 6/10
DCBBDDCDAB 6/10
DDDBDDCDBD 8/10
DADBDDCCCC 8/10
CADBDDDDAC 7/10

任务：求 $p$。

附加问题：确定 $p$ 后，又发现第二套试卷，黑板只剩 q(x)=x^20+…，因此 q 是首一二十次多项式。题目为：

q(5698) = ?
A: 5146 B: 5142 C: 5149 D: 5147

q(1616) = ?
A: 3715 B: 3725 C: 3720 D: 3716

q(1338) = ?
A: 2547 B: 2548 C: 2549 D: 2550

q(7821) = ?
A: 6624 B: 6628 C: 6619 D: 6627

q(4461) = ?
A: 4661 B: 4660 C: 4659 D: 4662

q(2156) = ?
A: 5112 B: 5107 C: 5106 D: 5102

q(7559) = ?
A: 3916 B: 3921 C: 3913 D: 3917

q(5812) = ?
A: 2340 B: 2342 C: 2345 D: 2344

q(794) = ?
A: 6210 B: 6212 C: 6217 D: 6215

q(2595) = ?
A: 3642 B: 3644 C: 3646 D: 3641

q(1640) = ?
A: 1581 B: 1584 C: 1586 D: 1583

q(6779) = ?
A: 6543 B: 6536 C: 6541 D: 6544

q(8362) = ?
A: 3823 B: 3828 C: 3824 D: 3832

q(4605) = ?
A: 5601 B: 5598 C: 5602 D: 5595

q(420) = ?
A: 1272 B: 1274 C: 1278 D: 1275

q(8724) = ?
A: 4410 B: 4420 C: 4415 D: 4412

q(3669) = ?
A: 8974 B: 8973 C: 8976 D: 8971

q(1869) = ?
A: 6723 B: 6720 C: 6728 D: 6721

q(7516) = ?
A: 8244 B: 8247 C: 8246 D: 8243

q(1386) = ?
A: 1571 B: 1570 C: 1569 D: 1568

q(4529) = ?
A: 5504 B: 5501 C: 5503 D: 5506

学生答案与成绩为：

CCCDDCAADCCCBBDABDBAD 9/21
ADDACCADDDDBACDDBADCD 11/21
DCBABBAADDACBBAAAABDC 12/21
ACAAABABDDDBACAABADDC 11/21
CABAAAABDBDCCBDCBDBCC 12/21
DDDADCADDBDABBDBCADCC 12/21
ACDBBDAADDDABDCBCBCAC 9/21
AABCBDACDBADBDDCDACCB 10/21
BABBBBABAABCBDBCDACCA 9/21
ACCBABADDDDDBBCDDBACC 12/21
ACDBCBBDBDDCBCCADBCAA 9/21

求 $q(1)$。

解答

认真尝试后再打开

待补充。