IBM Ponder This #327 · 2025 年 7 月

Latchezar Christov 提出了这个问题。长为 $L$ 的电线上，宽度均为 1 的燕子逐只落下，不允许重叠。每只都在全部当前可落位置中均匀随机选择，直到无法再落。

最终有 $S$ 只。随机变量 $S$ 的期望 $N=\mathbf{E}[S]$ 依赖 $L$，定义密度 $\mathbf{FD}(L)=\frac{N(L)}{L}$。例如：

FD(1.1)=0.909091
FD(2.2)=0.606061
FD(3.3)=0.665421
FD(10)=0.722358

任务：求 $L_1$、$L_2$，满足 $L_1,L_2>2$，且分别有 $\mathbf{FD}(L_1)=\frac{36}{51}$、$\mathbf{FD}(L_2)=\frac{38}{51}$，精确到八位小数。

附加问题：$L\to \mathrm{\infty }$ 时，相邻两只燕子落点间距的分布中位数是多少？落点指身体所占区间的中点，答案保留小数点后四位。

解答

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待补充。