IBM Ponder This #328 · 2025 年 8 月

Alice、Bob 在若干矩形网格上轮流行动。Alice 每步选一块 $a\times b$ 网格，用竖直切线等分为至少两块；Bob 则用水平切线等分。切线只能沿格边，各块保留在游戏中。无法切任何块的人输。

例如 $4\times 6$ 网格，Alice 可切成两块 $3\times 2$、三块 $4\times 2$ 或六块 $4\times 1$；Bob 可切成两块 $2\times 6$ 或四块 $1\times 6$，图示如下：

若只剩四块 $1\times 6$ 且轮到 Bob，他便输。按 Zermelo's theorem,，双方最优时结果确定。

一块 $1\times 1$，以及一般 $n\times n$，都是先手输，称值为 0。$1\times 2$ 中 Alice 无论是否先手都赢，将 $1\times 2$ 的值记为 1。加入一块 $2\times 1$ 可与 $1\times 2$ 抵消，因此 $2\times 1$ 的值为 $-1$：

一块 $2\times 8$ 即使再加两块 $2\times 1$，Alice 仍胜；加三块 $2\times 1$ 后则先手输。每块 $2\times 1$ 的值为 $-1$，所以 $2\times 8$ 值为 3。

一般记 $r\times c$ 的值为 $f(r,c)$：先手输为 0；若加 $n$ 块 $2\times 1$ 后先手输，则值为 $n$，$n\in \mathbb{N}$；若加 $n$ 块 $1\times 2$ 后先手输，则值为 $-n$，$n\in \mathbb{N}$。

任务：对以下 a、b 求 $f(a,b)$：

a = 4323855975562114726518487102722055842514310244656547479
b = 470147284842004245175081008799131351685318626829460321

附加问题：对以下更大整数求 $f(a,b)$，同一数内的换行只是排版：

a = 3396061787351437365560785267965234012799064104044242529256561027187645   

5409093065996282317126010161219412431254334813134471728518505247774471  

40380830407565706177350759478762583119838528311717009  



b = 7464746477226496222046301003339284704063450899406727072696371142567730  

0099511708828335997683805844659240664138495004751184185917554576660019  

30720494110499599758793660468148459835668058314279

解答

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待补充。