IBM Ponder This #333 · 2026 年 1 月

把 $123$ 的十进制串切成若干连续段，可得到 $12$ 与 $3$，或 $1$ 与 $23$，或 $1$、$2$、$3$，也可以不切而保留 $123$。

把各段相加：$12$ 与 $3$ 得 $15$；$1$ 与 $23$ 得 $24$；$1$、$2$、$3$ 得 $6$；$123$ 单独保留则为 $123$。因此记为：

$$A_{123}=\{6,15,24,123\}$$

一般自然数 $n$ 对应的 $A_n$，就是对 $n$ 的十进制串作全部连续分段后，所有可能段和组成的集合。例如：

$$A_{31658}=\{23,32,50,68,77,95,104,176,329,374,662,689,1661,3173,31658\}$$

对整数集合 $A$ 与整数 $n$，使用记号 $n\cdot A\triangleq \{n\cdot x|x\in A\}$，其中乘号为普通乘法。

任务：对所有存在 $1\le n\le {10}^6$ 使 $x\in n\cdot A_n$ 且 $n\in A_x$ 的自然数 $x$，求它们的总和，重复的数只计一次。

附加问题：把范围改为 $1\le n\le {10}^7$，仍要求 $x\in n\cdot A_n$ 且 $n\in A_x$，求全部自然数 $x$ 的总和。

解答

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待补充。