IBM Ponder This #335 · 2026 年 3 月

给定 $N\times M$ 棋盘和起点 $(x,y)$，其中 $1\le x\le N$、$1\le y\le M$。Alice 先把棋子放在 $(x,y)$，Bob 再移到共边相邻格，并删除离开的格子。之后双方交替做同样操作，无法移动者输。

给定 $N\times M$ 与 $(x,y)$，若 Alice 能强制获胜，就把起点 $(x,y)$ 标为 A，否则标 B。

再固定质数 $p,q$，给格 $(i,j)$ 标号 $p^i+q^j$，下标从 1 起。选择质数 $s$，删除所有标号被 $s$ 整除的格子。

例如 $N=M=3$ 的未删棋盘为：

A B A
B A B
A B A

若取 $p=19,q=2,s=5$，因为 ${19}^2+2^2=365$ 被 5 整除，中间格被删除，得到：

B B B
B # B
B B B

对给定 $N\times M$、$p,q$ 与质数集合 $S$，逐个 $s\in S$ 生成棋盘，统计未删格中的 A、B 数，再对全部 $s\in S$ 求和。例如 $N=M=3$、$p=19,q=2$、$S=[2,3,5,7,11]$ 的合计为 $16$ 个 A、$19$ 个 B。

任务：$N=M=157$、$p=419,q=211$，$S$ 为全部小于 100 的质数时，求两类总数。

附加问题：$N=M=1557$、$p=419,q=211$，$S$ 为全部小于 500 的质数时，求两类总数。

解答

认真尝试后再打开

待补充。