两个信封中放着正数金额，其中一个信封里的金额是另一个的两倍。你选择一个信封，并看到里面有金额 $A$。

一个诱人的论证是：另一个信封中可能是 $A/2$ 或 $2A$，两者概率都是 $1/2$，所以它的期望值为

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{A}{2}+\frac{1}{2}\cdot 2A=\frac{5}{4}A.$$

2×3×5×7

如果换信封的期望值更高，难道应该永远不停地换下去吗？错误在哪里？

提示

每次打开一个

问一问：同一个符号能否同时表示固定观察值和随机量？

计算期望值需要一个先验分布。

解答

认真尝试后再打开

缺失的先验分布

观察到 $A$ 以后，“$A$ 是较小金额”和“$A$ 是较大金额”并不一定等概率。它们的概率取决于最初那对金额是如何生成的。

符号 $A$ 被迫同时扮演两个角色：已经固定的观察值，以及打开信封前的随机金额。那个朴素计算偷偷保留了打开信封前的 $1/2$ 概率，却代入了只有打开以后才知道的信息。

如果给定较小金额的先验分布，就可以用贝叶斯定理计算条件概率和合法的期望值。没有这个先验分布，题目本身并不能唯一确定条件期望。