各占一半

令 $p_{4,3}(n)$ 为 $p$ 的最小质数，使得 $p>n$ 和 $p\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ 并令 $$p_{4,3}^k(n):=\{\begin{array}{ll}{p}_{4,3}^{k-1}(p_{4,3}(n))& \text{if }k>1\\ p_{4,3}(n)& \text{if }k=1\end{array}.$$

让$F(n):=\frac{n-1}{2}!modn$。

例如，$F(3)=1$ 和 $F(47)=46$。

让$S(n,m):=\sum _{k=1}^{m}F(p_{4,3}^k(n))$。

您获得了 $S(1,32)=1856$、$S({10}^7,32)=150008239$ 和 $S({10}^{12},32)=18000000012930$。

找到 $S({10}^{18},32)$。

[我的计时：1.8秒（PyPy）]

注意：没有 parigp 会很难。