Kolakoski 数列

令 $K(a,b)$ 为无限序列，使得：

• 第一个元素是$a$，
• 它由$a$和$b$组成，并且
• 其游程长度序列等于$K(a,b)$。

这里，例如，我们假设$[1,1,1,2,3,4,4,5]$的游程长度序列是$[3,1,1,2,1]$。

我们可以验证

• $K(2,3)=[2,2,3,3,2,2,2,3,3,3,2,\dots ]$，和
• $K(2,4)=[2,2,4,4,2,2,2,2,4,4,4,4,2,\dots ]$.

令 $C_{a,b}(N)$ 为 $K(a,b)$ 的第一个 $N$ 元素中 $a$ 的数量。

例如，$C_{2,4}(4)=2$ 和 $C_{2,4}(5)$ = 3。

让$S(M,N):=\sum _{a=2}^{M-1}\sum _{b=a+1}^M{C}_{a,b}(N)$。

您获得了 $S(5,100)=300$ 和 $S(10,{10}^6)=17856847$。

找到$S(100,{10}^{15})$。