高阶递归序列

定义序列 $a_n$ 如下：$a_1=17,a_{n+1}=\frac{a_n^4+6a_n^2+1}{4a_n(a_n^2+1)}(n\ge 1)$。然后 $a_2=10657/2465$，$a_3=2134495165562497/1571545212141185$，...显然这个序列中的所有数字都是有理数。

对于质数 $p$ 和完全约简分数 $a/b$，将 $Q(a/b,p)$ 定义为 $ab\equiv q(\mathrm{mod}p)$ 的最小正 $q$。例如$Q(3/5,109)=66$，因为$5\cdot 66=330\equiv 3(\mathrm{mod}109)$和$66$是此类数的最小正数。

您获得了 $Q(a_2,1000000007)=877890477$、$Q(a_{10},1000000007)=16332768$。

求 $Q(a_{1234567891011121314},p)$ 与 2000000000 和 2000100000 之间所有质数 $p$ 的和。

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感谢 西普 为了这个想法。