随机序列的总和

序列生成器开始生成独立且同分布的随机变量，其累积分布函数为 $$F(x)=\{\begin{array}{ll}0& :x<0\\ x^2& :0\le x\le 1\\ 1& :x>1\end{array}$$ 对于每个新生成的数字，累积总和都会更新。当总和大于 $1$ 时，发电机停止。令 $C$ 表示停止时生成的数字的计数。例如，$C=3$ 的概率是 $7/45$。

求 $C$ 的期望值。将您的答案四舍五入到小数点后 10 位。

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感谢 百黑客 为了这个想法。