无立方因子数的因数个数

无立方数是一个不能被任何数整除的正整数 立方数 1 除外。 给定数字 $n>0$，$f(n)$ 定义如下： $$f(n)=\{\begin{array}{ll}{\sigma }_0(n)& \text{ if n is cube-free}\\ b(n)& \text{otherwise}\end{array}$$

其中 ${\sigma }_0(n)$ 是 $n$、$b(n)\equiv {\sigma }_0(c(n{)}^2)$ 的约数，$c(n)$ 是 $p$ 的最大数，使得 $p^3$ 除以 $n$。

例如，$f(28)=6$ 和 $f(432)=9$。

解释：28 是无立方数，$f(28)={\sigma }_0(28)=6$。然而，432 不是无立方数，216 是整除 432 的最大立方数。 $c(432)=6$ 和 $b(432)={\sigma }_0(6^2)=9$。

让${\displaystyle S(N)=\sum _{n=1}^{N}f(n)}$。您获得了 $S({10}^8)=1223779154$。

找到 $S(12345678987654321)$。