计算 $n^{15}$ 的最简单方法需要十四次乘法： $$n\times n\times \cdots \times n=n^{15}.$$

但是使用"二进制"方法，您可以通过六次乘法来计算它：

$$\begin{array}{rl}n\times n& =n^2\\ n^2\times n^2& =n^4\\ n^4\times n^4& =n^8\\ n^8\times n^4& =n^{12}\\ n^{12}\times n^2& =n^{14}\\ n^{14}\times n& =n^{15}\end{array}$$

但是，仅用五次乘法就可以计算出它：

$$\begin{array}{rl}n\times n& =n^2\\ n^2\times n& =n^3\\ n^3\times n^3& =n^6\\ n^6\times n^6& =n^{12}\\ n^{12}\times n^3& =n^{15}\end{array}$$

我们将定义 $m(k)$ 为计算 $n^k$ 的最小乘法次数；例如 $m(15)=5$。

求 $\sum _{k=1}^{200}m(k)$。