对于两个正整数 $a$ 和 $b$，Ulam 序列 $U(a,b)$ 由 $U(a,b{)}_1=a$、$U(a,b{)}_2=b$ 定义，对于 $k>2$， $U(a,b{)}_k$ 是大于 $U(a,b{)}_{k-1}$ 的最小整数，可以用一种方式将其写为 $U(a,b)$ 的两个不同的先前成员的总和。

例如，序列 $U(1,2)$ 开头为
$1$、$2$、$3=1+2$、$4=1+3$、$6=2+4$、$8=2+6$、$11=3+8$；
$5$ 不属于它，因为 $5=1+4=2+3$ 有两种表示形式作为前两个成员的总和，同样 $7=1+6=3+4$。

求 $\sum _{n=2}^{10}U(2,2n+1{)}_k$，其中 $k={10}^{11}$。