设 $S_m=(x_1,x_2,\dots ,x_m)$ 为 $m$ 正实数元组，其中 $x_1+x_2+\cdots +x_m=m$，其中 $P_m=x_1\cdot x_2^2\cdot \cdots \cdot x_m^m$ 最大化。

例如可以验证$\lfloor P_{10}\rfloor =4112$（$\lfloor \rfloor$为整数部分函数）。

求 $\sum _{m=2}^{15}\lfloor P_m\rfloor$。