具有唯一和的子集

对于任何数字集合 $A$ ，令 $sum (A)$ 为 $A$ 的元素之和。
考虑集合 $B = {1, 3, 6, 8, 10, 11}$ 。
$B$ 有 $20$ 个子集，其中包含三个元素，它们的总和为：

\begin{aligned} sum ({1, 3, 6}) & = 10, \\ sum ({1, 3, 8}) & = 12, \\ sum ({1, 3, 10}) & = 14, \\ sum ({1, 3, 11}) & = 15, \\ sum ({1, 6, 8}) & = 15, \\ sum ({1, 6, 10}) & = 17, \\ sum ({1, 6, 11}) & = 18, \\ sum ({1, 8, 10}) & = 19, \\ sum ({1, 8, 11}) & = 20, \\ sum ({1, 10, 11}) & = 22, \\ sum ({3, 6, 8}) & = 17, \\ sum ({3, 6, 10}) & = 19, \\ sum ({3, 6, 11}) & = 20, \\ sum ({3, 8, 10}) & = 21, \\ sum ({3, 8, 11}) & = 22, \\ sum ({3, 10, 11}) & = 24, \\ sum ({6, 8, 10}) & = 24, \\ sum ({6, 8, 11}) & = 25, \\ sum ({6, 10, 11}) & = 27, \\ sum ({8, 10, 11}) & = 29. \end{aligned}

其中一些总和出现多次，另一些则是唯一的。
对于集合 $A$ ，令 $U (A, k)$ 为 $A$ 的 $k$ 个元素子集的唯一和的集合，在我们的示例中，我们发现 $U (B, 3) = {10, 12, 14, 18, 21, 25, 27, 29}$ 和 $sum (U (B, 3)) = 156$ 。

现在考虑 $100$ 元素集 $S = {1^{2}, 2^{2}, \dots, 100^{2}}$ 。
S 有 $100891344545564193334812497256$ $50$ 元素子集。

确定所有整数的总和，这些整数恰好是 $S$ 的 $50$ 元素子集之一的总和，即找到 $sum (U (S, 50))$ 。

题解待补充

这道题的题目已收录，解题思路、代码和答案将在后续补充。