使用"Blum Blum Shub"伪随机数生成器创建数字序列：

$$\begin{array}{rl}{s}_0& =14025256\\ s_{n+1}& =s_n^{2}mod20300713\end{array}$$

连接这些数字 $s_0{s}_1{s}_2\cdots$ 以创建无限长度的字符串 $w$。
然后，$w=14025256741014958470038053646\cdots$

对于正整数$k$，如果$w$中不存在数字总和等于$k$的子串，则定义$p(k)$为零。如果 $w$ 中至少存在一个子串，其数字总和等于 $k$，则定义 $p(k)=z$，其中 $z$ 是最早的该子串的起始位置。

例如：

子字符串 $1,14,1402,\dots$
各自的数字总和等于 $1,5,7,\dots$
从位置 $\mathbf{1}$ 开始，因此 $p(1)=p(5)=p(7)=\cdots =\mathbf{1}$。

子字符串 $4,402,4025,\dots$
各自的数字总和等于 $4,6,11,\dots$
从位置 $\mathbf{2}$ 开始，因此 $p(4)=p(6)=p(11)=\cdots =\mathbf{2}$。

子字符串 $02,0252,\dots$
各自的数字总和等于 $2,9,\dots$
从位置 $\mathbf{3}$ 开始，因此 $p(2)=p(9)=\cdots =\mathbf{3}$。

请注意，从位置 $\mathbf{3}$ 开始的子字符串 $025$ 的数字总和等于 $7$，但有一个较早的子字符串（从位置 $\mathbf{1}$ 开始）的数字总和等于 $7$，因此 $p(7)=1$，不是 $3$。

我们可以验证，对于 $0<k\le {10}^3$，$\sum p(k)=4742$。

求 $\sum p(k)$，$0<k\le 2\times {10}^{15}$。