我们将正整数 $n$ 的舍入平方根定义为四舍五入到最接近整数的 $n$ 的平方根。

以下过程（本质上是适用于整数算术的 Heron 方法）查找 $n$ 的舍入平方根：

设 $d$ 为号码 $n$ 的位数。
如果$d$为奇数，则设置$x_0=2\times {10}^{(d-1)/2}$。
如果 $d$ 为偶数，则设置 $x_0=7\times {10}^{(d-2)/2}$。
重复：

$$x_{k+1}=\lfloor {\displaystyle \frac{x_k+\lceil n/x_k\rceil }{2}}\rfloor$$

直到 $x_{k+1}=x_k$。

作为示例，让我们求 $n=4321$ 的舍入平方根。
$n$ 具有 $4$ 数字，因此 $x_0=7\times {10}^{(4-2)/2}=70$。
$$x_1=\lfloor {\displaystyle \frac{70+\lceil 4321/70\rceil }{2}}\rfloor =66$$ $$x_2=\lfloor {\displaystyle \frac{66+\lceil 4321/66\rceil }{2}}\rfloor =66$$ 从 $x_2=x_1$ 开始，我们就到此为止。
因此，经过两次迭代，我们发现 $4321$ 的舍入平方根是 $66$（实际平方根是 $65.7343137\cdots$）。

使用此方法时所需的迭代次数非常低。
例如，我们可以找到 $5$ 位整数 ($10000\le n\le 99999$) 的舍入平方根，其平均值为 $3.2102888889$ 次迭代（平均值四舍五入到 $10$ 小数位）。

使用上述过程，找到 $14$ 位数 (${10}^{13}\le n<{10}^{14}$) 的舍入平方根所需的平均迭代次数是多少？
将您的答案四舍五入到 $10$ 小数位。

注：符号$\lfloor x\rfloor$和$\lceil x\rceil$代表下限函数不大于$x$的最大整数和上限函数不小于$x$的最小整数分别。