对于 $n$ 中的每个质因数 $p$，如果 $p^2$ 是 $n$ 的约数，则正整数 $n$ 是强大。

如果 $n$ 可以表示为另一个正整数的幂，则正整数 $n$ 是一个完美幂。

如果 $n$ 功能强大但不是完美功能，则正整数 $n$ 是一个阿基里斯数。例如，$864$和$1800$是阿基里斯数：$864=2^5\cdot 3^3$和$1800=2^3\cdot 3^2\cdot 5^2$。

如果 $S$ 和 $\varphi (S)$ 都是阿基里斯数，我们将把正整数 $S$ 称为强阿基里斯数。¹
例如，$864$ 是强阿基里斯数：$\varphi (864)=288=2^5\cdot 3^2$。然而，$1800$ 不是一个强阿基里斯数，因为：$\varphi (1800)=480=2^5\cdot 3^1\cdot 5^1$。

$7$强阿基里斯数低于${10}^4$，$656$低于${10}^8$。

${10}^{18}$ 下面有多少个强阿基里斯数？

¹ $\varphi$ 表示欧拉函数。