我们试图通过提问来找到从整数集合 $\{1,2,\dots ,n\}$ 中选出的隐藏数字。 我们询问的每个数字（问题）的成本等于所询问的数字，我们得到三个可能的答案之一：

• "您的猜测低于隐藏的数字"，或
• "是的，就是这样！"，或者
• "您的猜测高于隐藏的数字"。

给定 $n$ 的值，最佳策略可以最大限度地降低最坏情况的总成本（即所有问题的总和）。例如

如果$n=3$，我们能做的最好的显然就是询问数字"2"。答案将立即引导我们找到隐藏的数字（总成本 $=2$）。

如果 $n=8$，我们可能决定使用"二分搜索"类型的策略：我们的第一个问题是"$\mathbf{4}$"，如果隐藏数字高于 $4$，我们将需要一两个额外的问题。
让我们的第二个问题是"$\mathbf{6}$"。如果隐藏数字仍然高于 $6$，我们将需要第三个问题来区分 $7$ 和 $8$。
因此，我们的第三个问题将是"$\mathbf{7}$"，这种最坏情况的总成本将为 $4+6+7=\mathbf{17}$。

通过询问"$\mathbf{5}$"作为我们的第一个问题，我们可以大大改善 $n=8$ 的最坏情况成本。
如果我们被告知隐藏数字高于 $5$，我们的第二个问题将是"$\mathbf{7}$"，那么我们就可以确定隐藏数字是什么（总成本为 $5+7=\mathbf{12}$）。
如果我们被告知隐藏数字低于 $5$，我们的第二个问题将是"$\mathbf{3}$"，如果隐藏数字低于 $3$，我们的第三个问题将是"$\mathbf{1}$"，总成本为 $5+3+1=\mathbf{9}$。
由于 $\mathbf{12}>\mathbf{9}$，该策略的最坏情况成本为 $\mathbf{12}$。这比我们之前使用"二分搜索"策略取得的效果要好；它也优于或等于任何其他策略。
所以，事实上，我们刚刚描述了 $n=8$ 的最优策略。

令 $C(n)$ 为通过 $n$ 的最优策略实现的最坏情况成本，如上所述。
因此$C(1)=0$、$C(2)=1$、$C(3)=2$ 和$C(8)=12$。
同样，$C(100)=400$ 和 $\sum _{n=1}^{100}C(n)=17575$。

求 $\sum _{n=1}^{200000}C(n)$。