为所有整数 $n$ 定义了一个无限实数序列 $a(n)$，如下所示： $$a(n)=\{\begin{array}{ll}1& n<0\\ \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{a(n-i)}{i!}}& n\ge 0\end{array}$$

例如，

$a(0)={\displaystyle \frac{1}{1!}}+{\displaystyle \frac{1}{2!}}+{\displaystyle \frac{1}{3!}}+\cdots =e-1$
$a(1)={\displaystyle \frac{e-1}{1!}}+{\displaystyle \frac{1}{2!}}+{\displaystyle \frac{1}{3!}}+\cdots =2e-3$
$a(2)={\displaystyle \frac{2e-3}{1!}}+{\displaystyle \frac{e-1}{2!}}+{\displaystyle \frac{1}{3!}}+\cdots ={\displaystyle \frac{7}{2}}e-6$

其中 $e=2.7182818...$ 是欧拉常数。

可以证明，对于整数 $A(n)$ 和 $B(n)$，$a(n)$ 的形式为 ${\displaystyle \frac{A(n)e+B(n)}{n!}}$。

例如，$a(10)={\displaystyle \frac{328161643e-652694486}{10!}}$。

求 $A({10}^9)+B({10}^9)$ 并给出答案 mod $77777777$。