$N\times N$ 个圆盘放置在方形游戏板上。每个圆盘都有黑面和白面。

每回合，你可以选择一个圆盘，并翻转与该圆盘同一行、同一列的所有圆盘：这样就翻转了 $2\times N-1$ 个圆盘。当所有圆盘都露出白色面时游戏结束。以下示例显示了 $5\times 5$ 棋盘上的游戏。

可以证明$3$是完成这个游戏的最少回合数。

$N\times N$ 棋盘上左下角的圆盘坐标为 $(0,0)$；
右下圆盘的坐标为 $(N-1,0)$，左上圆盘的坐标为 $(0,N-1)$。

令 $C_N$ 为具有 $N\times N$ 磁盘的主板的以下配置：
位于 $(x,y)$ 的圆盘满足 $N-1\le \sqrt{x^2+y^2}<N$，显示其黑色面；否则，它会显示其白色的一面。 $C_5$ 如上所示。

设 $T(N)$ 为从配置 $C_N$ 开始完成游戏的最小回合数，如果配置 $C_N$ 无法解决，则为 $0$。
我们已经证明$T(5)=3$。您还可以得到 $T(10)=29$ 和 $T(1000)=395253$。

求 $\sum _{i=3}^{31}T(2^i-i)$。