对于整数 $a$ 和 $b$，我们将 $D(a,b)$ 定义为由抛物线 $y=x^2$ 和直线 $y=a\cdot x+b$ 围成的域：
$D(a,b)=\{(x,y)\mid x^2\le y\le a\cdot x+b\}$。

$L(a,b)$ 定义为 $D(a,b)$ 中包含的格点数量。
例如，$L(1,2)=8$ 和 $L(2,-1)=1$。

我们还将 $S(N)$ 定义为所有 $(a,b)$ 对的 $L(a,b)$ 之和，使得 $D(a,b)$ 的面积是有理数，并且 $|a|,|b|\le N$。
我们可以验证 $S(5)=344$ 和 $S(100)=26709528$。

求$S({10}^{12})$。给出你的答案 mod ${10}^8$。