内摆线是由小圆上的一点在大圆内滚动所绘制的曲线。以原点为中心、从最右边的点开始的内摆线参数方程由下式给出：

$$x(t)=(R-r)\cos (t)+r\cos (\frac{R-r}{r}t)$$ $$y(t)=(R-r)\sin (t)-r\sin (\frac{R-r}{r}t)$$

其中 $R$ 是大圆的半径，$r$ 是小圆的半径。

设 $C(R,r)$ 为半径为 R 和 r 的内摆线上具有整数坐标的不同点的集合，并且有相应的 t 值，使得 $\sin (t)$ 和 $\cos (t)$ 是有理数。

设$S(R,r)=\sum _{(x,y)\in C(R,r)}|x|+|y|$为$C(R,r)$中点的$x$和$y$坐标的绝对值之和。

令 $T(N)=\sum _{R=3}^N\sum _{r=1}^{\lfloor \frac{R-1}{2}\rfloor }S(R,r)$ 为 R 和 r 正整数 $R\le N$ 和 $2r<R$ 的 $S(R,r)$ 之和。

您将获得：

$C(3,1)$	=	$\{(3,0),(-1,2),(-1,0),(-1,-2)\}$
$C(2500,1000)$	=	$\{(2500,0),(772,2376),(772,-2376),(516,1792),(516,-1792),(500,0),(68,504),(68,-504),$
		$(-1356,1088),(-1356,-1088),(-1500,1000),(-1500,-1000)\}$

注意： $(-625,0)$ 不是 $C(2500,1000)$ 的元素，因为 $\sin (t)$ 不是 $t$ 相应值的有理数。

$S(3,1)=(|3|+|0|)+(|-1|+|2|)+(|-1|+|0|)+(|-1|+|-2|)=10$

$T(3)=10;T(10)=524;T(100)=580442;T({10}^3)=583108600$。

查找 $T({10}^6)$。