翻转游戏是一个两人游戏，在 $N$ × $N$ 的方板上进行。
每个方块包含一个一面白色一面黑色的圆盘。
游戏开始时所有圆盘都显示出白色的一面。

转动包括翻转具有以下属性的矩形中的所有圆盘：

• 矩形的右上角包含一个白色圆盘
• 矩形宽度是一个完美的正方形（$1$、$4$、$9$、$16$、...）
• 矩形高度是一个三角数对于正整数$n$，三角数定义为$\frac{1}{2}n(n+1)$。 ($1$, $3$, $6$, $10$, ...)

玩家轮流轮流。玩家通过将网格变成黑色来获胜。

令 $W(N)$ 为获胜步数无论对手采取什么策略都确保获胜的策略的第一步。对于 $N$ × $N$ 棋盘上的第一个玩家，假设完美发挥，所有棋盘都是白色的。
$W(1)=1$、$W(2)=0$、$W(5)=8$ 和 $W({10}^2)=31395$。

对于 $N=5$，第一个玩家的八个获胜第一步是：

求$W({10}^6)$。