在欧几里得平面上，蚂蚁从点 $A(0,1)$ 移动到点 $B(d,1)$，行程为整数 $d$。

每一步，$(x_0,y_0)$ 点的蚂蚁都会选择满足 $x_1\ge 0$ 和 $y_1\ge 1$ 的格点 $(x_1,y_1)$ 之一，并以恒定速度 $v$ 直奔 $(x_1,y_1)$。 $v$ 的值取决于 $y_0$ 和 $y_1$，如下所示：

• 如果$y_0=y_1$，则$v$的值等于$y_0$。
• 如果 $y_0\ne y_1$，则 $v$ 的值等于 $(y_1-y_0)/(\ln (y_1)-\ln (y_0))$。

左图是 $d=4$ 的可能路径之一。首先，蚂蚁以 $(3-1)/(\ln (3)-\ln (1))\approx 1.8205$ 的速度从 $A(0,1)$ 到 $P_1(1,3)$。那么所需时间为 $\sqrt{5}/1.8205\approx 1.2283$。
从 $P_1(1,3)$ 到 $P_2(3,3)$，蚂蚁以 $3$ 的速度行进，因此所需时间为 $2/3\approx 0.6667$。从 $P_2(3,3)$ 到 $B(4,1)$，蚂蚁以 $(1-3)/(\ln (1)-\ln (3))\approx 1.8205$ 的速度行进，因此所需时间为 $\sqrt{5}/1.8205\approx 1.2283$。
因此，所需的总时间为 $1.2283+0.6667+1.2283=3.1233$。

右图是另一条路。所需总时间计算如下：$0.98026+1+0.98026=2.96052$。可以证明，这是 $d=4$ 的最快路径。

如果蚂蚁选择最快路径，则令 $F(d)$ 为所需的总时间。例如，$F(4)\approx 2.960516287$。
我们可以验证 $F(10)\approx 4.668187834$ 和 $F(100)\approx 9.217221972$。

求$F(10000)$。将您的答案四舍五入到小数点后九位。